n的n次方跟n的階乘，n的階乘更大。
證明：
當n=1時：
2^1=2，1！=1。
∴2^n＞n！。
當n≥2時：
n！/2^n=（2/2）x（3/2）x（4/2）x（5/2）x（n/2）。
∵（2/2）＝1，（3/2）＞1，（4/2）＞1（n/2）＞1。
∴（2/2）x（3/2）x（4/2）x（5/2）x……（n/2）＞1。
∴n！＞2^n。
當n=1時，n！＜2^n當n≥2時，n！＞2^n。
定義的必要性
由於正整數的階乘是一種連乘運算，而0與任何實數相乘的結果都是0。所以用正整數階乘的定義是無法推廣或推導出0！=1的。即在連乘意義下無法解釋“0！=1”。給“0！”下定義只是為了相關公式的表述及運算更方便。
Xn=(n!/n^n)^(1/n) 兩邊取對數， lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n)) 上式可看成 f(x)=lnx 在[0，1]上的一個積分和。即對[0，1] 區間作n等分，每個小區間長1/n。
因此當n趨於無窮時，lnXn等於f(x)=lnx在[0，1]上的定積分。 lnx在[0，1]上的定積分為-1 所以 lnXn在n趨於無窮時的極限為-1。 由於 Xn=e^(lnXn)， 於是 Xn在n趨於無窮時的極限值為1/e.
