假设y=f(x)=sinx²是周期函数，周期为T，则有f(x+T)=sin(x+T)²=f(x)=sinx²，对于x∈R的任意值均成立令x=0sinT²=sin0=0∴T²=kπ k≠0T=√kπf(x+√kπ)=sin(x²+2√kπ·x+kπ)=±sin(x²+2√kπ·x)，不恒等于sin(x²)，与假设矛盾
是周期函数，sinx＝(1-cos2x)/2，是周期为π的函数。对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
周期函数的性质共分以下几个类型：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
