双曲线上到焦点距离最近的点

用第二定义.以焦点在x轴上的双曲线的右支为例.

设P(x，y)是双曲线x²/a²-y²/b²=1 (a>0，b>0)的右支上一点，F(c，0)为右焦点，x=a²/c为右准线

按双曲线的第二定义，P到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率，从而

|PF|/|x-a²/c|=e，由于P在右支上，所以 x≥a ，从而

|PF|=e(x-a²/c)=ex-a

当x=a时，|PF|取到最小值为ea-a=c-a

从而，双曲线上到焦点距离最近的点是双曲线的顶点