13号入职16号离职公司会交社保吗

应该缴纳。

按照国家的规定在单位上班领取的当月的劳动报酬就应该相应的缴纳社保。有工资就该有保险。只要这个月员工在单位上班了，单位就有义务为员工缴纳保险。

如不缴纳，可以直接去社保中心举报或者稽查大队举报，要求公司补上保险，也可以仲裁要求补上保险，都会被支持的。但个人部分还是需要自己承担的。